Mが2違うと1000倍のなぞ?！

日本では地震は絶えないし怖いですよね。
よくニュースなどで、『地震の規模を表すマグニチュードMはいくつだった』とかいいますよね。
そこで、よくMが2違えばエネルギーが1000倍違うと言われます。

マグニチュードMとエネルギーE[J]の間には
log₁₀E＝4.8＋1.5×M
という関係があります。底は10の常用対数です。

マグニチュードyをMyとし、
マグニチュードxをMxとすると

log₁₀Ey＝4.8＋1.5×My
log₁₀Ex＝4.8＋1.5×Mx

両辺をそれぞれ割ると
log₁₀Ey÷log₁₀Ex＝(4.8＋1.5×My)÷(4.8＋1.5×Mx)
⇔
log₁₀(Ey÷Ex)＝(4.8＋1.5×My)÷(4.8＋1.5×Mx)
∵log₁₀A÷log₁₀B＝log₁₀(A÷B)
⇔
log₁₀(Ey÷Ex)＝log₁₀10^{(4.8＋1.5×My)}÷log₁₀10^{(4.8＋1.5×Mx)}
∵A×log₁₀Z＝log₁₀Z^A,　log₁₀10＝1
⇔
log₁₀(Ey÷Ex)
＝log₁₀10^4.8×log₁₀10^(1.5×My)÷log₁₀10^4.8÷log₁₀10^(1.5×Mx)
∵log₁₀Z^(A＋B)＝log₁₀Z^A×log₁₀Z^B
⇔
log₁₀(Ey÷Ex)＝log₁₀10^4.8÷log₁₀10^4.8×log₁₀10^{(1.5×My－1.5×Mx)}
∵log₁₀Z^A÷log₁₀Z^B＝log₁₀Z^(A－B)
⇔
log₁₀(Ey÷Ex)＝1×log₁₀10^{(1.5×My－1.5×Mx)}
⇔
log₁₀(Ey÷Ex)＝1.5×(My－Mx)
∵log₁₀Z^A＝A×log₁₀Z
⇔
∴ Ey÷Ex＝10^{{1.5×(My－Mx)}}

そこでたとえば、Mが4と2では
E4÷E2＝10^{{1.5×(4－2)}}
⇔
E4÷E2＝10³＝1000

となり、マグニチュードが2違うとエネルギーが1000倍違うと言うことになります。
あたりまえかぁ

だから、Mが1違うと10√10≒31.622…≒32倍も大きいということになります。
おそろしやぁ～！

タグ：地震 マグニチュード